Estadístico Z para la media de dos muestras
El estadístico Z para la comparación de la media de dos muestras lo
emplearemos cuando conocemos las varianzas poblacionales. También deben
cumplirse los supuestos de normalidad y homocedasticidad, y que las muestras
sean independientes. Admite modelos equilibrados y no equilibrados.
La hipótesis estadística que se establece es que la diferencia de medias
es 0 (supuesto de igualdad entre las medias) o bien que toma un determinado
valor (el que el investigador considere oportuno).
La hipótesis de trabajo considera la existencia de una diferencia que
puede ser nula entre las medias de dos poblaciones independientes.
Las hipótesis pueden ser de una o dos colas.
Ejemplo 1:
Para tomar una importante decisión a
nivel profesional se desea determinar si existen diferencias significativas
fundamentadas entre dos empresas referentes al salario de sus empleados. Se
realiza una investigación revisando el salario de 60 trabajadores
de la empresa A y 70 de la empresa B. Se obtiene
un salario medio de 30000 euros anuales con una desviación típica de
1000 euros en el primer grupo y un salario medio de
25000 euros anuales con una desviación típica de 1500
en el segundo grupo. ¿Podríamos decidir a favor de alguna de las dos
empresas con un nivel de significación del 1 % ?
1.
Se formula la hipótesis nula H0 y la hipótesis
alternativa H1.
Hipótesis nula
:
H0 : μx - μy =
0
Hipótesis alternativa : H1 : μx - μy ≠ 0
En este caso tenemos un contraste bilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.
Hipótesis alternativa : H1 : μx - μy ≠ 0
En este caso tenemos un contraste bilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.
2.
Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.
Tenemos una distribución de la diferencia de las
medias, con μ1 - μ2 = 5000, un
tamaño de muestra en A de n = 60 y en B
de n = 70. La distribución de las medias se distribuye :
3.
Construimos las regiones de aceptación y rechazo.
4. Calcular el
estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.
El
estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias de
las muestras, μ1 - μ2 = 30000 - 25000 = 5000.
5000 ∉ ( -569,99 ; 569,99 ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación.
5000 ∉ ( -569,99 ; 569,99 ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación.
5. Interpretación de la decisión.
Dado
que nuestro estadístico de contraste no pertenece a la región de
aceptación, rechazamos la hipótesis nula.
Consideramos por tanto que existen diferencias significativas y hay diferencias entre las dos empresas.
Consideramos por tanto que existen diferencias significativas y hay diferencias entre las dos empresas.
Ejercicio
Se quieren probar dos tipos de alimentos para los
75 pingüinos de un zoológico cuyo peso se distribuye normalmente.
Se separan en dos grupos, uno formado por 40 pingüinos y otro por
35. Al cabo de un mes son pesados, y se obtiene para el primer
grupo un peso medio de 13 kg y desviación típica de 0,7
y para el segundo grupo, un peso medio de 11 kg y desviación
típica 0,3.
¿Se puede afirmar, con el nivel de confianza del 99 %, que están mejor alimentados los del primer grupo que los del segundo?
¿Se puede afirmar, con el nivel de confianza del 99 %, que están mejor alimentados los del primer grupo que los del segundo?
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