EJERCICIO DISTRIBUCIÓN t

Ejercico 1:

Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal.

Solución:

Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un área de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a

. Luego se busca el valor de 0.005 en el primer renglón con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de

está en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto:

P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045

Ejercicio 2:

Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t_0.05 y t_0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

ERROR TIPO II - ESTADISTICO Z

Error de tipo II

Cuando la hipótesis nula es falsa y usted no la rechaza, comete un error de tipo II. La probabilidad de cometer un error de tipo II es β, que depende de la potencia de la prueba. Puede reducir el riesgo de cometer un error de tipo II al asegurarse de que la prueba tenga suficiente potencia. Para ello, asegúrese de que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande como para detectar una diferencia práctica cuando esta realmente exista.

La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa es igual a 1–β. Este valor es la potencia de la prueba.

	Verdad acerca de la población
Decisión basada en la muestra	H₀ es verdadera	H₀ es falsa
No rechazar H₀	Decisión correcta (probabilidad = 1 - α)	Error tipo II - no rechazar H₀cuando es falsa (probabilidad = β)
Rechazar H₀	Error tipo I - rechazar H₀ cuando es verdadera (probabilidad = α)	Decisión correcta (probabilidad = 1 - β)

Ejemplo:

Para entender la interrelación entre los errores de tipo I y tipo II, y para determinar cuál error tiene consecuencias más graves para su situación, considere el siguiente ejemplo.

Un investigador médico desea comparar la efectividad de dos medicamentos. Las hipótesis nula y alternativa son:

· Hipótesis nula (H₀): μ₁= μ₂

Los dos medicamentos tienen la misma eficacia.

· Hipótesis alternativa (H₁): μ₁≠ μ₂

Los dos medicamentos no tienen la misma eficacia.

si se produce un error de tipo II, el investigador no rechaza la hipótesis nula cuando debe rechazarla. Es decir, el investigador concluye que los medicamentos son iguales cuando en realidad son diferentes. Este error puede poner en riesgo la vida de los pacientes si se pone en venta el medicamento menos efectivo en lugar del medicamento más efectivo.

EJERCICIO ESTADISTICO Z

Estadístico Z para la media de dos muestras

El estadístico Z para la comparación de la media de dos muestras lo emplearemos cuando conocemos las varianzas poblacionales. También deben cumplirse los supuestos de normalidad y homocedasticidad, y que las muestras sean independientes. Admite modelos equilibrados y no equilibrados.

La hipótesis estadística que se establece es que la diferencia de medias es 0 (supuesto de igualdad entre las medias) o bien que toma un determinado valor (el que el investigador considere oportuno).

La hipótesis de trabajo considera la existencia de una diferencia que puede ser nula entre las medias de dos poblaciones independientes.

Las hipótesis pueden ser de una o dos colas.

Ejemplo 1:

Para tomar una importante decisión a nivel profesional se desea determinar si existen diferencias significativas fundamentadas entre dos empresas referentes al salario de sus empleados. Se realiza una investigación revisando el salario de 60 trabajadores de la empresa A y 70 de la empresa B. Se obtiene un salario medio de 30000 euros anuales con una desviación típica de 1000 euros en el primer grupo y un salario medio de 25000 euros anuales con una desviación típica de 1500 en el segundo grupo. ¿Podríamos decidir a favor de alguna de las dos empresas con un nivel de significación del 1 % ?

1. Se formula la hipótesis nula H₀ y la hipótesis alternativa H₁.

Hipótesis nula : H₀ : μ_x - μ_y = 0
Hipótesis alternativa : H₁ : μ_x - μ_y ≠ 0
En este caso tenemos un contraste bilateral, ya que nuestra hipótesis nula se encuentra formulada en forma de igualdad.

2. Identificamos la distribución de probabilidad y el tamaño de la muestra.

Tenemos una distribución de la diferencia de las medias, con μ₁ - μ₂ = 5000, un tamaño de muestra en A de n = 60 y en B de n = 70. La distribución de las medias se distribuye :

3. Construimos las regiones de aceptación y rechazo.

4. Calcular el estadistíco de contraste y verificar la hipótesis.

El estadístico de contraste que emplearemos será la diferencia de las medias de las muestras, μ₁ - μ₂ = 30000 - 25000 = 5000.

5000 ∉ ( -569,99 ; 569,99 ) ⇒ Nuestro estadístico de contraste no pertenece a nuestra región de aceptación.

5. Interpretación de la decisión.

Dado que nuestro estadístico de contraste no pertenece a la región de aceptación, rechazamos la hipótesis nula.
Consideramos por tanto que existen diferencias significativas y hay diferencias entre las dos empresas.

Ejercicio

Se quieren probar dos tipos de alimentos para los 75 pingüinos de un zoológico cuyo peso se distribuye normalmente. Se separan en dos grupos, uno formado por 40 pingüinos y otro por 35. Al cabo de un mes son pesados, y se obtiene para el primer grupo un peso medio de 13 kg y desviación típica de 0,7 y para el segundo grupo, un peso medio de 11 kg y desviación típica 0,3.
¿Se puede afirmar, con el nivel de confianza del 99 %, que están mejor alimentados los del primer grupo que los del segundo?